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长远数学的幽谷，你会发现一派广大的范围，犹如一座广大无际的丛林，其中的每一棵树，每一派叶子，齐饱含了渴望与奥妙。在这座丛林中，有一派渊博的区域被咱们称为\"函数空间\"。

什么是函数空间？

当咱们处置实数或复数时，一个数x有一个当然的大小认识，即它的模|x|。咱们也不错诓骗这一个大小的认识来界说两个数x和y的距离

由此不错说，哪些成对的数是彼此接近的，哪些是隔离的。

然则，当处置具有较多目田度的对象时，情况就变得比拟复杂。例如来说，有计划决定一个3维矩形箱子的“大小”，这里有好几个量可供遴选：长、宽、高、体积、名义积、直径（最长的对角线长度）、扁平率等等。横祸的是，用这些量作出的大小比拟并不是等价的。例如，箱子A可能比箱子B长一些，而且体积也比拟大，但是箱子B可能宽一些，而且名义积大一些。由于这个原因，东谈主们放手了箱子应该只用一个量来默示其大小的主义，而罗致了另一个想想：有许多这么的大小认识，它们齐可能是有用的，在有些应用里，把大体积的箱子和小体积的箱子分开来；在有些应用里，可能想把扁平的箱子和圆小数的箱子分开来。虽然，不同的大小认识有一些关系（例如等周不等式）。它们在已知名义积时，对体积的可能值给出了一个上界，是以，情况并不像初看起来那样漫无端倪。

当今回到具有固定的界说域和值域的函数，

（最佳心里记着一个界说在区间[-1，1]上而值在实直线R中的函数f：[-1，1]→R，这是一个好的例子）。

这些对象有无限多目田度，是以绝不奇怪，这里也有无限多不同的“大小”认识，而它们齐对于“一个已给的函数有多大\"这个问题（或者对一个密切关系的问题：“两个函数f和g有何等接近?\"）提供了不同的谜底。或然辰，一些函数在某种度量下有无限的大小，而在另一种度量下则只消有限大小（访佛地，一双函数可能在某种度量下终点接近，而在另一种度量下距离很远）。这里的情况又可能看起来很浩瀚，但是它仅是反应了一个事实，即函数可能有许多不同的特色——有的高，有的胖，有的光滑，有的触动，等等，而按照不同的应用，可能更看重于一种特色，而不是另一种。在分析里，这些特色齐体当今种种尺度的函数空间偏激关系的范数上，而这些范数，既可定量也可定性地模样这些函数。

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形势地看，一个函数空间常是一个赋范空间X，其元素是一些函数（具有固定的界说域和值域）。在分析中有计划的尺度的函数空间绝大精深（但详情不是一起）不仅是赋范空间，如故巴拿赫空间。X中的函数f的范数：

便是这个函数空间衡量这个函数f有多大的要领。

巴拿赫空间是完备的赋范向量空间，也便是说，它是一个在某种范数下的向量空间，而且这个空间是完备的。完备性是指对于空间中的任何柯西序列（Cauchy sequence），它在该空间中齐有极限。

时常（但非一定如斯）范数是由不详的公式给出的，而空间X便是由那些使得

有道理而且为有限的函数组成的。这么，仅就函数f属于函数空间X这一事实，就如故传递了对于这个函数的定量的信息了，例如，它可能包含了f正规到何种经由，它衰减何等快，它以什么常数为界，或者它的积分有多大，等等。

函数空间的例子

当今给出一些常用的函数空间的样本。为不详起见，仅限于有计划由[-1，1]到R的函数的空间。

这个空间由统统由[-1，1]到R的连系函数组成，时常记作C[-1，1]。连系函数如故填塞正规，足以幸免那些很随便的函数所产生的许多技艺上玄妙的所在。紧区间（如[-1，1]）上的连系函数是有界的，是以不错加于这个空间的最当然的范数是上确界范数，即|f|的最大值，记作

形势上说，它的界说是

但是对于连系函数，说最大值或者说上确界，是一致的。

上确界范数是与一致拘谨性相筹划的范数：一个序列f1，f2，…一致拘谨于f，当且仅当

空间C⁰[-1，1]有一个有用的性质，即其中的元素不但不错相加，而且不错相乘，这就使C⁰[-1，1]成为巴拿赫代数的最基本的例子。

另一个函数空间的例子是：

这是一个对成员的经验次序比C⁰[-1，1]更严的空间：C¹[-1，1]中的函数f不仅是连系的，而且它的导数在[-1，1]上亦然连系的。上确界范数当今不是一个当然的范数，因为一个连系可微函数序列不错在C⁰[-1，1]范数下拘谨于一个不可微的函数。当今应该界说

珍重C¹范数当今不仅衡量函数自己的大小，还衡量了其导数的大小（但是只是管住导数也不可令东谈主舒坦，因为那会给常值函数以零范数）。因此这是一个保证了比上确界范数更高的正规性的范数。不错访佛地界说二次连系可微的函数的空间

等等，一直到无限可微函数的空间

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但是终末这个空间并不是赋范空间（这些空间还有“分数阶”的版块，例如

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即清闲α阶赫尔德（Otto Ludwig Holder，德国数学家）条目的函数的空间。

第三个函数空间的例子：勒贝格空间

上头给出的上确界范数

对于统统的x∈[-1，1]管住了|f（x）|的大小。然则，这意味着若是有x的一个很小的荟萃，使得|f（x）|在其上很大，则

哪怕对于典型的x，|f（x）|会小得许多。或然，取一个不那么受函数在小的荟萃上的值影响的范数会愈加故意。函数f的LP范数是

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当1≤p<∞时，它对于（使得上头的积分有限的）可测函数有道理。这些函数组成

可测函数f的范数

是它的本色上确界，这个认识油滑地说，便是在函数的界说域中略去了一个测度为0的荟萃，然后求此函数在此零测度荟萃的余荟萃上的上确界，终末再求这些上确界的下确界。那些使得

保抓有限的函数组成一个函数空间，记作

若是此函数是连系的，则在界说域中略去一个0测度荟萃，不会影响其上确界，是以

不错证实，当p→x时，

不错说，

范数目度的是函数的“高度”，

L^P范数目度的是函数的“高度”和“宽度”的轮廓。

这些范数中，特等热切的是L²范数，因为L²[-1，1]是一个希尔伯特空间。这个空间有特等丰富的对称性：存在终点丰富的种种酉变换，即界说在

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终末一个函数空间的例子：索伯列夫空间

勒贝格范数在一定经由上适度了函数的高度和宽度，但是对于函数的正规性未置一词；一个L函数莫快活义是可微的，致使莫快活义是连系的。为了把这些信息也放进来，咱们要转到索伯列夫（Sergei Lvovich Sobolev，前苏联数学家）范数

其界说是

索伯列夫空间便是使得这种范数为有限的函数所成的空间。这么，一个函数在索伯列夫空间中当且仅当它和它的直到k阶的导数齐在

这里有小数微小之处：咱们并不要求f在时常道理下k次可微，而是在较弱的分散的道理下k次可微。例如，函数f（x）=|x|在零点并不可微，但是它确有一个当然的弱导数：

这个函数属于

（因为荟萃{0}的测度为0，是以无须指定f'(0)之值。是以f属于

这个空间便是利普希茨连系函数所成的空间。咱们需要有计划这些广义可微的函数，因为不然

在对偏微分方程和数学物理作分析商榷时，索伯列夫范数特等有用。例如

范数不错解释为与此函数相筹划的“能量”（的平淡根）。

函数空间的性质

函数空间的构造在许多方面有助于商榷函数。例如，若是在函数空间中有了一个好的基底，使得此空间的每一个函数齐不错写成这个基底的（可能是无限的）线性组合，而且对于这个线性组合怎么拘谨于蓝本的函数有一些定量的臆想，这就使咱们能灵验地用一些统统来默示这个函数，而且不错用更光滑的函数来靠拢它。例如，对于

的一个基本的遵守是，普兰舍利定理指出，除了其他遵守外，还有：存在复常数序列

使得当N→∞时，

这个遵守标明，L²[-1，1]中的自便函数齐不错在L^2顶用三角多项式，即形如

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的抒发式，靠拢到自便精准度，这个复数序列中的an便是f的第n个傅里叶统统，它们不错用底下的公式来默示：

不错觉得，这个遵守说的便是函数序列

（执行上，它们组成模范正交基底，即每个元素的范数均为1，而且自便两个不同元素的内积齐是零）。

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对于函数空间的另一个很基本的事实是，有些函数空间不错镶嵌其他函数空间，是以这个空间的统统函数自动地也属于另一个空间。进而，相同存在一个不等式，用另一函数空间的范数来给出此函数空间范数的上界。例如，一个高正规性空间如C¹[-1，1]的函数自动地属于一低正规性空间如C⁰[-1，1]，而一个高可积性空间如中的函数自动地属于一个低可积性空间。这些包含关系不可回转过来。然则，照实有所谓索伯列夫镶嵌定理，使咱们能以正规性“交换”可积性。这种遵守告诉咱们，具有许多正规性但是可积性不及的空间，不错镶嵌到具有低正规性但是高可积性的空间内部。底下这种臆想

便是这种定理的一个样本。它告诉咱们，若是|f(x)|和|f'(x)|的积分齐有限，则函数f必定是有界的。

再一个终点有用的认识是对偶性的认识。给定一个空间X，就不错界说其对偶空间X*为X上的统统连系线性泛函的空间，或者更精准地说，便是统统的映射

的空间，不外要求它们是线性的，而且对于X的范数是连系的。例如，当1

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这里的q由等式1/p+1/q=1决定，称为p的共轭指数。

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要商榷某函数空间的一个函数，或然不错看对偶空间中的连系线性泛函怎么作用于这些函数来进行。访佛于此，要商榷一个从一个函数空间X到另一个函数空间Y的连系线性算子T：X→Y，或然也不错先有计划伴算子T*：Y*→X*来进行。

对于函数空间，咱们还要提一个热切的事实，某个函数空间X不错“插入”另外两个函数空间X0和X1中间。例如空间L^P[-1，1]，1

插入的精准界说过于技艺化，是以本文不作解释，但是对于它的所谓“插值定理\"之是以很有用，是因为有这么一个事实：“顶点”的空间X0和X1相同比“夹在中间的”空间更容易商榷。例如，不错用它来给出杨（William Henry Young）的不等式以一个初等证实。这个不等式便是说，令1≤p，q，r≤ 清闲关系式1/p+1/q=1+1/r，而f，g永诀属于

即有

这时，

插值定理在这里是很有用的，因为在p=1，q=1或r=x这些顶点的情况下，这个不等式很容易证实。若是不借助于插值定理，这个证实就难多了。